星期三, 九月 26

布尔巴基学派 ―― 数学史上的达芬奇密码

1939年,巴黎的书店里推出一本新书《数学原本(第一卷)》,作者署名为尼古拉·布尔巴基(Nicolas Bourbaki),名不见经传。由于第二次世界大战很快爆发,此书并不为人知晓。但是,此书继续出版,平均每年一卷,慢慢地有了名气,只是无人知道布尔巴基究竟何许人,后来竟成了数学界的一个“谜”。

1950年,布尔巴基在《美国数学月刊》上发表一篇文章。在有关作者的一个注脚中写道:“尼古拉·布尔巴基教授,前在波达维亚(Poldavia)皇家学院,现定居法国南锡,写了一套《数学原本》,内容是关于现代数学的综合性丛书(出版商赫尔曼 (Hermann),巴黎,1939年起),现在已有10卷问世。”这是布尔巴基第一次露面,但是所谓“波达维亚的布尔巴基”纯属子虚乌有,人们揣测,这不过是一个笔名!

《数学原本》是一本博大精深的著作。它涉及现代数学的各个领域,概括某些最新的研究成果,以其严谨而别具一格的方式,将数学按结构重新组织,形成了自己的新体系。内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数轮、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形、李群等分支。1965年出到31卷,现在共有40卷。

尽管人们早已知道布尔巴基是一个集体,为首的几个人也被猜中,但他们自己一直不予承认,而是故弄玄虚,尽量组织别人揭穿他们的秘密。

1968年,笼罩在布尔巴基上的面纱终于揭开。这个集体的一位领导人迪厄多内(Jean Alexandre Eugene Dieudonne,1906~1992)在罗马尼亚布加勒斯特数学研究所发表演讲,题为《布尔巴基的事业》。

布尔巴基的事业,是一批法国青年开始做起来的。1924年,一批18岁的青年来到法国巴黎高等师范学校(法国最高学府)求学。

巴黎的老一辈大学问家是不少的。像皮卡、蒙泰尔(Paul Antuan Aristid Montel,1876~1975)、波莱尔、阿达马(Jacques-Salomon Hadamard,1865~1963)、当儒瓦(Arnaud Denjoy,1884~1974)、勒贝格,在1924年还都健在,但已经是50岁上下的人了。他们和这批18岁青年整整隔了一代。尽管他们手把手地给他们讲授一年级课程,这批年轻人却没有满足。他们问:“年轻的数学家到哪里去了?”原来,第一次世界大战时,德国把数学家放到增强军队战斗力的技术岗位(如柯朗在通讯部 门服役),而法国却把大学生赶上前线,致使“高师”的战时师生名册里面大多加了黑框。直到1924年,年轻的数学家尚未成长起来。以致在讲台上教书的都是四五十岁的老教师,气氛显得沉闷。

渐渐地,一批青年人聚在一起议论法国数学发展中青年人的责任。其中以H·嘉当(Henri Paul Cartan,1904~2008)、韦伊两人为首,吸引了德尔萨特(Jean Delsarte,1903~1968)、迪厄多内、谢瓦莱三个人,后来又有艾伦伯格(唯一的外国人――波兰人)参加。他们曾分析形势,首先,法国现在是函数论王国,上面列出的老一辈学问家都是搞函数论的,除了阿达马的讨论班有一扇通向国外的窗口之外,国外的数学发展情况很不清楚。至于E·嘉当的工作虽然开创了李群与微分几何理论的研究,但要到20年以后才发觉其重要性,当时并未被注意到。其次,他们感到教师年龄太大,“50岁数学家的知识只是他在二三十 岁时所学到的数学,而对他50岁当时的数学,通常只有模糊的概念,这是我们不得不接受的事实。”于是,韦伊首先走到国外,看到了当时德国的阿廷、诺特、西 格尔、哈塞等代数方面崭新的工作,匈牙利的黎斯、波兰的巴拿赫已经开创了泛函分析、美国学派已在向代数拓扑学进攻。这些年轻人再也坐不住了,他们决心打破 这一“函数论王国”的束缚,继承从费马到庞加莱博学多才的数学传统,把法国数学重新改造,于是出现了“布尔巴基运动”。

1927年,这批学生毕业了, 有的留在巴黎,有的在法国各地。H·嘉当和韦伊在斯特拉斯堡大学教微积分,用的是古尔萨(Edouard Jean-Baptiste Goursat,1858~1936)的《分析学》。他们觉得太老了,应该写一本新的《分析学》。这一建议获得大家的赞同,这是布尔巴基学派最早的起源。1930年,迪厄多内正在准备学位论文,他有一次到柏林,看到范·德·瓦尔登的《近世代数学》,欣喜万分,慨叹法国大学生的无知,竟然不知道什么是理想子环。接着,他们又发现范·德·瓦尔登“只精通代数”,其他如拓扑、积分、空间等材料含毫无层次地摆着。“我们能不能也像范·德·瓦尔登那样把整个数学写成一套经过整理的专 著?”在1934年的一次聚会上,他们从写《分析学》教科书的背景材料开始,准备用三年的时间完成一套专著,依次为:I.集合;II.代数;III.拓 扑;IV.实变函数;V.拓扑线性空间;VI.积分。真是初生之犊不畏虎!随着知识的增长,他们发现这是何等艰巨的任务,后来实际上写了30年也没有完 成。

布尔巴基小组的活动形式是每年举行两三次会议,每次总要经过讨论并一致同意写某本书或某几章,然后再由某个自愿按照模糊的计划写初稿。没有太多的约束,完全由他自己去冒险乱闯。一两年后,初稿在布尔巴基会议上宣读,经受“残酷无情”的批评。只有亲临会议的人才能体会到这种批评的毫不留情,以致某些局外人总是带着“疯子集会”的印象离去。年龄相差20岁也不会降低指责和反驳的火力,而且一旦搞清楚了,大家都会心平气和地微笑。每次会议往往把一部稿子 批得体无完肤,然后再去写第二稿。一本书要重复六七次,搞得大家都厌烦了,才送去付印。这样,从开始写作到书印出来,大约要七八年,甚至十年。

1980年代以来,布尔巴基的历史有较多的披露。例如在《数学信使》(Mathematical Intelligencer)上发表了对谢瓦莱德访问纪录(1985,pp.18~22),主要内容有关布尔巴基。

1992年,韦伊(Andre Weil,1906~1998)出版了一本自传体的著作:《一个数学家的学徒生涯》(The Apprenticeship of a Mathematician),介绍他40岁以前的经历。韦伊于1906年生于斯特拉斯堡,父亲是医生,母亲是俄国犹太人。1922年考入巴黎高师。 1928年获得博士学位后任职于斯特拉斯堡大学,1930~1932年去印度工作,会见过甘地和尼赫鲁。1920年代末至1930年代初,他遍访柏林、格 丁根、瑞士、伦敦,接触名家,甚至能在服兵役期间,于1935年去莫斯科参加国际拓扑学会议,随后访问列宁格勒。在芬兰被当成苏联间谍。1937年访问过普林斯顿,去过墨西哥。1941年,移居美国,战后到巴西工作过。1975年访问北京,1998年去世。作为一个数学家,经历可谓丰富,生活堪称多姿多 彩。

在该书中韦伊以个人的名义回顾了布尔巴基的早期历史。韦伊最要好的朋友是H·嘉当(E·嘉当的儿子),此外是德尔萨特、谢瓦莱。1934年,韦伊 和H·嘉当都在斯特拉斯堡大学教授微积分,他们试图改造传统的教材处理方式,例如,把反映重积分和面积分的斯托克斯公式写成 ω=∫B(X)dω,ω是微分形式,dω是它的微分,X是积分区域,B(X)是X的边界。对于这种改变是否行得通,很没有把握。韦伊想起,我们有很多朋友都在教同样的课程,为什么不把大家召集在一起,加以讨论解决呢?1934年的冬天,一个小型会议在圣米歇尔(Saint-Michel)大街的一个巴黎餐馆里举行。韦伊认为这是布尔巴基的诞生。不过,因为年代久远,记忆模糊,确切的日期已记不清了。出席这次会议的有德尔萨特、谢瓦莱、H·嘉当、迪厄多内、韦伊以及其他少数人。 上述几个提到名字的人,都自始至终参加布尔巴基的活动,直至自我设计的“退休年龄”――50周岁。现在,大家就把这5个人称之为布尔巴基的奠基人。早期参与活动较多的还有波赛尔(Rene De Possel)、修治(D. Cuedj)、曼德尔博罗伊(Szolem Mandelbrojt, 1899~1983)等人。布尔巴基的档案早先由德尔萨特保管在南锡大学(它是那里的讲师、教授),1968年德尔萨特早逝后,转放在巴黎大学。不过,这 些档案并不全。

韦伊也提到过布尔巴基名字的来历。1923年,韦伊、德尔萨特、H·嘉当都收到一份学校当局的正式邀请函,说是一位来自斯堪的纳维亚的教授来做演讲,要大家务必出席。结果,演讲的人是胡森(Raoul Husson),一位高年级的学生,也是一位“搞笑”的专家。他留着怪怪的胡子,操着南腔北调的口音,不着边际地说一点经典函数论,最后,他提高嗓音说了一个“布尔巴基定理”,使听众惊讶得说不出话来。这一故事广为流传,添油加醋,差不多每个学生都知道。

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